Question

8．如图，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
（1）证明：AB∥GH；
（2）求平面ABQ与平面EFQ所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH；
（2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度，标出点的坐标，由此利用向量法能求出平面ABQ与平面EFQ所成二面角的正弦值．

解答 证明：（1）如图，∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB，
又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB，
则EF∥CD．又EF?平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．
又CD?平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．
又AB∥CD，∴AB∥GH；
解：（2）由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形，
以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=BP=BQ=2，
则E（1，0，1），F（0，0，1），Q（0，2，0），
$\overrightarrow{EF}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{EQ}$=（-1，2，-1），
设平面EFQ的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EQ}=-x+2y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），
平面ABQ的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面ABQ与平面EFQ所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{1×\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

∴平面ABQ与平面EFQ所成二面角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线线平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．