Question

20．如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=bx+a；
（2）求出R²检验所求回归方程是否可靠；
（3）进行残差分析．
（4）试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$         $\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$    R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\widehat{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．
（2）根据所给的这组数据，代入相关指数公式，可求出R²，
（3）根据计算的R²的大小进行分析
（4）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，即可估计生产100吨甲产品的生产能耗

解答 解：（1）对照数据，计算得 $\sum _{i=1}^{4}{{x}_{i}}^{2}$=86，$\sum _{i=1}^{4}{{x}_{i}{y}_{i}}^{\;}$=66.5，$\overline{x}$=4.5，$\overline{y}$=3.5，
∴回归方程的系数为$\hat{b}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4×{4.5}^{2}}$=0.7，$\hat{a}$=0.35，
∴所求线性回归方程为$\hat{y}$=0.7x+0.35，
R²=1-$\frac{\sum _{i=1}^{4}{（{y}_{i}-\widehat{{y}_{i}}）}^{2}}{\sum _{i=1}^{4}{（{y}_{i}-\overline{y}）}^{2}}$=1-$\frac{0.0025+0.0225+0.0225+0.0025}{1+0.25+0.25+1}$=1-0.02=0.98．
（3）∵R²=0.98，非常接近1，故用回归方程$\hat{y}$=0.7x+0.35模拟x，y间的关系的拟合效果非常好
（4）由（1）求出的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100+0.35=70.35（吨），
∴估计生产100吨甲产品的生产能耗为70.35吨．

点评 本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．