Question

【题目】设椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，为坐标原点，点到直线的距离为，为等腰直角三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与椭圆交于，两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）利用表示出点到直线的距离；再利用和的关系得到方程，求解得到标准方程；（2）当直线斜率存在时，假设直线方程，利用斜率之和为得到与的关系，将直线方程化为，从而得到定点；当斜率不存在时，发现直线也过该定点，从而求得结果.

（1）解：由题意可知：直线的方程为，即

则

因为为等腰直角三角形，所以

又

可解得，，

所以椭圆的标准方程为

（2）证明：由（1）知

当直线的斜率存在时，设直线的方程为

代入，得

所以，即

设，，则，

因为直线与直线的斜率之和为

所以

整理得

所以直线的方程为

显然直线经过定点

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为

因为直线与直线的斜率之和为，设，则

所以，解得

此时直线的方程为

显然直线也经过该定点

综上，直线恒过点