Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导，定义域为，由，可得或进而讨论导函数的正负得函数单调性即可；

（Ⅱ）若恒成立，只需即可，讨论函数单调性求最值即可.

试题解析：

（Ⅰ）函数的定义域为，

.

由，可得或，

当时， 在上恒成立，

所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；

当时， 的变化情况如下表：

所以的单调递减区间是，单调递增区间是.

当时， 的变化情况如下表：

所以的单调递减区间是，单调递增区间是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时， ，符合题意.

当时， 的单调递减区间是，单调递增区间是，

所以恒成立等价于，即，

所以，所以.

当时， 的单调递减区间是，单调递增区间是，

所以恒成立等价于，即.

所以，所以.

综上所述，实数的取值范围是.