Question

【题目】（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）已知函数，，如果函数有两个极值点、，求证：.（参考数据：，，，为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）构造函数，其中，可得，求出函数的导数，构造函数，分和两种情况讨论，结合可求出实数的取值范围；

（2）由题意得出，变形得，利用基本不等式得出，然后构造函数，利用导数分析函数的单调性，证明出，结合单调性可得出.

（1）令，其中，且有，

，

令，则.

①当时，即当时，对任意的，，即，

所以，函数在区间上为增函数，当时，，合乎题意；

②当时，则或.

（i）当时，对任意的，，即，

所以，函数在区间上为增函数，当时，，合乎题意；

（ii）当时，设函数的两个极值点分别为、，设，

由韦达定理得，则必有，

当时，，当时，.

所以，，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是；

（2）若，

则有两个不同的零点、.

由题意，相加有，①

相减有，从而，

代入①有，

即，

不妨设，则，由（1）有.

又，

所以，即，

设，则，在单调递增，

又，

，，因此.