Question

【题目】已知函数f（x）ax﹣lnx（a∈R）.

（1）若a＝2时，求函数f（x）的单调区间；

（2）设g（x）＝f（x）1，若函数g（x）在上有两个零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）（2）（3，2e]

【解析】

（1）当a＝2时，求出，求解，即可得出结论；

（2）函数在上有两个零点等价于a＝2x在上有两解，构造函数，，利用导数，可分析求得实数a的取值范围.

（1）当a＝2时，定义域为，

则，令，

解得x1，或x1（舍去），

所以当时，单调递减；

当时，单调递增；

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

（2）设，

函数g（x）在上有两个零点等价于在上有两解

令，，则，

令，，

显然，在区间上单调递增，又，

所以当时，有，即，

当时，有，即，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，

时，取得极小值，也是最小值，

即，

由方程在上有两解及，

可得实数a的取值范围是.