题目内容
15．在极坐标系中，直线l：ρcosθ=$\frac{1}{2}$与曲线C：ρ=2cosθ相交于A、B两点，O为极点．（1）求∠AOB的大小．
（2）设把曲线C向左平移一个单位再经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上任一点，求x2-$\sqrt{3}$xy+2y2的最小值，并求相应点M的坐标．
分析 （1）把极坐标方程化为直角坐标方程，求出AC，DC的值，可得∠AOC的值，从而得到∠AOB=2∠AOC的值；
（2）确定曲线C′的直角坐标方程，利用参数法求x2-$\sqrt{3}$xy+2y2的最小值，并求相应点M的坐标．
解答 解：（1）直线ρcosθ=
$\frac{1}{2}$即x=$\frac{1}{2}$，曲线ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即（x-1）2+y2=1，
表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．如图．
Rt△ADC中，∵cos∠ACO=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，∴∠ACO=$\frac{π}{3}$，
在△AOC中，AC=OC，∴∠AOC=$\frac{π}{3}$，∴∠AOB=2∠AOC=$\frac{2π}{3}$…（5分）
（2）曲线C：（x-1）2+y2=1，向左平移一个单位再经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到曲线C′的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
设M（2cosα，sinα），所以x2-$\sqrt{3}$xy+2y2=3+2cos（2α+$\frac{π}{3}$）
∴$α=kπ+\frac{π}{3}$时，x2-$\sqrt{3}$xy+2y2的最小值为1
此时点M的坐标为（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）…（10分）
点评 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出∠ACO是解题的关键．属于中档题．
练习册系列答案
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6．已知i为虚数单位，则i7=（ ）
| A． | 1 | B． | -1 | C． | i | D． | -i |
3．已知集合M={x|y=ln（1-2x）}，集合N={y|y=ex-3，x∈R}，则∁RM∩N=（ ）
| A． | {x|x$≥\frac{1}{2}$} | B． | {y|y＞0} | C． | {x|0＜x＜$\frac{1}{2}$} | D． | {x|x＜0} |
20．某乡镇为了发展旅游行业，决定加强宣传，据统计，广告支出费x与旅游收入y（单位：万元）之间有如表对应数据：
（Ⅰ）求旅游收入y对广告支出费x的线性回归方程y=bx+a，若广告支出费为12万元，预测旅游收入；
（Ⅱ）在已有的五组数据中任意抽取两组，根据（Ⅰ）中的线性回归方程，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率．
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参考数据：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$=145，$\sum_{i=1}^{5}{y}_{i}^{2}$=13500，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=1380．
| x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
（Ⅱ）在已有的五组数据中任意抽取两组，根据（Ⅰ）中的线性回归方程，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率．
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参考数据：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$=145，$\sum_{i=1}^{5}{y}_{i}^{2}$=13500，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=1380．
7．已知集合M={x|x2-x=0}，N={-1，0}，则M∩N=（ ）
| A． | {-1，0，1} | B． | {-1，1} | C． | {0} | D． | φ |
4．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
| A． | f（x）=$\frac{1}{2x-1}$-x3 | B． | f（x）=$\frac{1}{2x-1}$+x3 | C． | f（x）=$\frac{1}{2x+1}$-x3 | D． | f（x）=$\frac{1}{2x+1}$+x3 |
如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E，Q分别为AB，BC的中点，F在边PD上，$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PD}$，λ∈（0，1）．