Question

已知a＞b＞c,求证:a²b+b²c+c²a＞ab²+bc²+ca².

Answer 1

思路分析：本题可以用作差法进行推理证明,但也可以打破思维定式,从二次函数及方程这个角度来证明.

证法一:a²b+b²c+c²a-ab²-bc²-ca²

=(b-c)a²+(c²-b²)a+bc(b-c)

=(b-c)［a²-(b+c)a+bc］

=(a-b)(b-c)(a-c)＞0(∵a＞b＞c)，

∴a²b+b²c+c²a＞ab²+bc²+ca².

    证法二:令f(a)=(b-c)a²+(c²-b²)a+bc(b-a)

=(b-c)［a²-(c+b)a+bc］.

    方程f(a)=0的两根为b,c,又b-c＞0,且a＞b＞c.

结合图象,知f(a)＞0.

    所以原不等式成立.