Question

已知A、B、C是直线l上的三点，且

OA

，

OB

，

OC

满足：

OA

-(y+1-lnx)

OB

+

1-x

ax

OC

=

0

(O∉l且a＞0)．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[1，+∞）单调递增，求实数a的范围；
（3）当a=1时，求证：lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．(n≥2且n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由已知，利用A，B，C三点共线，化简即可求y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[1，+∞）单调递增，可得f′(x)=

1

x

-

1

ax2

≥0对x∈[1，+∞)恒成立，分离参数求最值，即可求实数a的范围；
（3）先证明lnx＜1-

1

x

，再用

n

n-1

代换x，利用叠加法，即可得出结论．

解答：（1）解：由已知得：

OA

=(y+1-lnx)

OB

+

x-1

ax

OC

．
又∵A，B，C三点共线，∴y+1-lnx+

x-1

ax

=1⇒y=lnx+

1-x

ax

∴f(x)=lnx+

1-x

ax

(x＞0)；
（2）解：∵f（x）在[1，+∞）单调递增，
∴f′(x)=

1

x

-

1

ax2

≥0对x∈[1，+∞)恒成立⇒

1

ax2

≤

1

x

即a≥

1

x

对x∈[1，+∞)恒成立⇒a≥(

1

x

)max=1
∴a∈[1，+∞）；
（3）证明：当a=1时，f(x)=lnx+

1

x

-1．
由(2)知，当x∈[1，+∞)时f(x)=lnx+

1

x

-1≥f(1)=0⇒lnx＞1-

1

x

(当且仅当x=1时取等号)，
用

n

n-1

换x得：ln

n

n-1

＞1-

n-1

n

=

1

n

，
∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+ln

5

4

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

，
即ln(

2

1

×

3

2

×

4

3

×…×

n

n-1

)＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

⇒lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三点共线，考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．