Question

7．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F在棱CC₁上，且CF=2FC₁，P是侧面四边形BCC₁B₁内一点（含边界），若A₁P∥平面AEF，则直线A₁P与面BCC₁B₁所成角的正弦值的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{5\sqrt{29}}}{29}]$
• B． $[\frac{{3\sqrt{13}}}{13}，\frac{{5\sqrt{29}}}{29}]$
• C． $[\frac{{3\sqrt{13}}}{13}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$
• D． $[\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$

Answer 1

分析 分别取棱BB₁、B₁C₁的中点M、N，连接MN，易证平面A₁MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A₁P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．

解答 解：如下图所示：
分别取棱BB₁、B₁C₁的中点M、N，连接MN，连接BC₁，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC₁，EF∥BC₁，
∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA₁∥NE，AA₁=NE，∴四边形AENA₁为平行四边形，
∴A₁N∥AE，又A₁N?平面AEF，AE?平面AEF，
∴A₁N∥平面AEF，
又A₁N∩MN=N，∴平面A₁MN∥平面AEF，
∵P是侧面BCC₁B₁内一点，且A₁P∥平面AEF，
则P必在线段MN上，
在Rt△A₁B₁M中，A₁M=$\sqrt{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{M}^{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
同理，在Rt△A₁B₁N中，求得A₁N=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△A₁MN为等腰三角形，
当P在MN中点O时A₁P⊥MN，此时A₁P最短，P位于M、N处时A₁P最长，
A₁O=$\sqrt{{A}_{1}{M}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
A₁M=A₁N=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以线段A₁P长度的取值范围是[$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]．
直线A₁P与面BCC₁B₁所成角的正弦值的最小值为：$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
直线A₁P与面BCC₁B₁所成角的正弦值最大值为：$\frac{1}{\frac{3\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
直线A₁P与面BCC₁B₁所成角的正弦值的取值范围是：[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$]．
故选：D．

点评 本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．