Question

在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆O相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为

2

10

、

2 5

5

（Ⅰ）求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）若点C为单位圆O上异于A、B的一点，且向量

OC

与

OA

夹角为

π

4

，求点C的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意及锐角三角函数定义求出cosα和cosβ的值，再由α、β为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα和sinβ的值，然后把所求的式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值；
（Ⅱ）设出C的坐标为（m，n），代入单位圆方程中，得到关于m与n的关系式，记作①，再由已知的两向量的夹角，利用平面向量的数量积运算法则表示出夹角的余弦值，整理后得到关于m与n的另一个关系式，记作②，联立①②，即可求出m与n的值，从而确定出C的坐标．

解答：解：（Ⅰ）依题意得，cosα=

2

10

，cosβ=

2 5

5

，…（2分）
∵α，β为锐角，
∴sinα=

1-cos2α

=

7 2

10

，sinβ=

1-cos2β

=

5

5

，…（4分）
则cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=

2

10

×

2 5

5

+

7 2

10

×

5

5

=

9 10

50

；…（6分）
（Ⅱ）设点C的坐标为（m，n），
∵C在单位圆上，则m²+n²=1，①…（7分）
∵向量

OC

与

OA

夹角为

π

4

，|

OC

|=|

OA

|=1，且

OC

=（m，n），

OA

=（cosα，sinα）=（

2

10

，

7 2

10

），
∴cos

π

4

=

OC • OA

| OC | | OA |

=

(m，n)•( 2 10 ， 7 2 10 )

1×1

，…（9分）
整理得：

2

2

=

2

10

m+

7 2

10

n，即m+7n=5，②…（10分）
联立方程①②，
解得：

m= 4 5 n= 3 5

或

m=- 3 5 n= 4 5

…（11分）
∴点C的坐标为(

4

5

，

3

5

)或(-

3

5

，

4

5

)．　　　…（12分）

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，锐角三角形函数定义，数量积表示两向量的夹角，平面向量的数量积运算法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．