Question

已知函数f（x）=x²-ax+b
（Ⅰ）若b=4时，f（x）≥0对x∈（0，4）恒成立，求a的范围；
（Ⅱ）若f（-1）≥0，f（0）≤0，f（2）≥0，求f（3）的范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把b=4代入f（x），由题意，f（x）≥0对x∈（0，4）恒成立，可以利用分离常数法进行求解；
（Ⅱ）第二问就是一个线性规划问题，找出可行域和目标函数，画出草图即可求解；
解答：解：（Ⅰ）∵若b=4时，f（x）≥0对x∈（0，4）恒成立，
∴f（x）=x²-ax+4≥0，
∴a≤=x+，
∵x+≥2=4（当x=2时等号成立）；
∴a≤4；
（Ⅱ）∵f（x）=x²-ax+b，f（-1）≥0，f（0）≤0，f（2）≥0，
可得，目标函数z=f（3）=9-3a+b，
画出可行域：可以令a=x，b=y，如下图

如图在点A（2，0）处z取得最小值，在点B（-1，0）处取最大值，
∴z_min=9-6=3，z_max=9+3=12，
∴3≤f（3）≤12；
点评：本题考查的知识点是基本不等式，线性规划，第一问比较简单，用到了常数分离法，使问题简单化，第二问要看出来这是一个线性规划问题，就比较容易求解了；