题目内容
如图，平面
平面
，
是等腰直角三角形，
，四边形
是直角梯形，
∥ＡＥ，
，
,
分别为
的中点．
（1）求异面直线
与
所成角的大小；
（2）求直线
和平面
所成角的正弦值．
【答案】
（1）
，（2）
【解析】
试题分析：（1）求空间角，一般利用空间向量解决.首先要建立恰当的空间直角坐标系，由平面
平面
及
，运用面面垂直性质定理，可得
，这样确定竖坐标.横坐标与纵坐标可根据右手系建立.因为异面直线
与
所成角
等于向量
与
夹角或其补角，而异面直线与所成角范围为
，所以
，（2） 直线
和平面
所成角与向量
与平面法向量
夹角互余或相差
，而直线和平面所成角范围为，所以
.
试题解析：
∵，又∵面
面
，面
面
，
，∴
，∵BD∥AE，∴， 2分
如图所示，以C为原点，分别以CA，CB为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，∵
，∴设各点坐标为
，
，
，
，
，
则
，
，
，
，
，
.
（1）
，
则与所成角为. 5分
（2）设平面ODM的法向量
，则由
，且
可得
令
，则
，
，∴
，设直线CD和平面ODM所成角为
，则
，
∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为． 10分
考点：利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角.
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