Question

10．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{a+{3}^{x+1}}$．
（1）若a=1，求证函数f（x）不是奇函数；
（2）若此函数是奇函数．
①判断并证明函数f（x）的单调性；
②对任意的正数x，不等式f[m（log₃x）²+1]+f[-m（log₃x）-2]＞0取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，则函数f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x+1}}$，f（-x）≠-f（x），进而得到结论；
（2）若此函数是奇函数，则a=3，
①结合指数函数的单调性，和单调性的性质，可判断函数f（x）为减函数，利用定义法，可证得结论；
②结合函数的单调性和奇偶性，可将不等式化为m（log₃x）²+1＜m（log₃x）+2恒成立，令t=log₃x，则mt²+1＜mt+2恒成立，则mt²-mt-1＜0恒成立，再由二次函数的图象和性质，得到m的范围．

解答 证明：（1）若a=1，则函数f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x+1}}$．
此时f（-x）=$\frac{1-{3}^{-x}}{1+{3}^{-x+1}}$=$\frac{{3}^{x}-3}{3+{3}^{x}}$，
-f（x）=-$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x+1}}$，
f（-x）≠-f（x），
故函数f（x）不是奇函数；
（2）①若此函数是奇函数，则f（-x）=-f（x），
故$\frac{1-{3}^{-x}}{a+{3}^{-x+1}}$=$\frac{{3}^{x}-1}{a•{3}^{x}+{3}^{\;}}$=-$\frac{1-{3}^{x}}{a+{3}^{x+1}}$=$\frac{{3}^{x}-1}{a+{3}^{x+1}}$，
故a•3^x+3=a+3^x+1，
解得：a=3，
此时f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{3+{3}^{x+1}}$=$-\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3+{3}^{x+1}}$，
此时函数f（x）为减函数，
理由如下：
∵$3+{3}^{{x}_{1}+1}＞0$，$3+{3}^{{x}_{2}+1}＞0$，${3}^{{x}_{2}+1}-{3}^{{x}_{1}+1}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）=（$-\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3+{3}^{{x}_{1}+1}}$）-（$-\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3+{3}^{{x}_{2}+1}}$）=$\frac{2}{3+{3}^{{x}_{1}+1}}$-$\frac{2}{3+{3}^{{x}_{2}+1}}$=$\frac{2（{3}^{{x}_{2}+1}-{3}^{{x}_{1}+1}）}{（3+{3}^{{x}_{1}+1}）（3+{3}^{{x}_{2}+1}）}$＞0，
故函数f（x）为减函数，
②若f[m（log₃x）²+1]+f[-m（log₃x）-2]＞0恒成立，
则f[m（log₃x）²+1]＞-f[-m（log₃x）-2]恒成立，
则f[m（log₃x）²+1]＞f[m（log₃x）+2]恒成立，
则m（log₃x）²+1＜m（log₃x）+2恒成立，
令t=log₃x，则mt²+1＜mt+2恒成立，
则mt²-mt-1＜0恒成立，
当m=0时，满足条件，
当m≠0时，$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\△={m}^{2}+4m＜0\end{array}\right.$，解得：-4＜m＜0，
综上所述：m∈（-4，0]．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，恒成立问题，二次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，难度中档．