Question

20．已知等比数列{a_n}的前n项和为2ⁿ-1，求：
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n²}前n项和．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ-1，当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ-1，
当n=1时，a₁=2-1=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=2^n-1．
（2）${a}_{n}^{2}$=（2^n-1）²=4^n-1，
∴数列{a_n²}是等比数列，首项为1，公比为4．
∴数列{a_n²}前n项和=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．