Question

9．一个空间几何体的三视图及部分数据如图（1）所示，直观图如图（2）所示．
（1）求它的体积；
（2）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（3）若D是棱CC₁的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB₁C₁，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据棱柱的体积公式，求出该几何体的体积；
（2）根据三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，得出BC⊥平面ACC₁A₁，从而证明A₁C⊥平面AB₁C₁；
（3）当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB₁C₁，先证明平面DEF∥平面AB₁C₁，即可证明DE∥平面AB₁C₁．

解答 解：（1）四边形BCC₁B₁是矩形，BB₁=CC₁=$\sqrt{3}$，BC=1，
且AA₁C₁C是边长为$\sqrt{3}$的正方形，垂直于底面BB₁C₁C，
所以该几何体的体积为V=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$；
（2）证明：因为∠ACB=90°，所以BC⊥AC，
又因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
所以BC⊥CC₁，
又因为AC∩CC₁=C，
所以BC⊥平面ACC₁A₁，
所以BC⊥A₁C；
又因为B₁C₁∥BC，
所以B₁C₁⊥A₁C，
又因为四边形ACC₁A₁为正方形，
所以A₁C⊥AC₁，
又B₁C₁∩AC₁=C₁，
所以A₁C⊥平面AB₁C₁；
（3）当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB₁C₁，
证明：如图所示，
取BB₁的中点F，连接EF、FD、DE，
因为D、E、F分别是棱CC₁，AB和BB₁的中点，
所以EF∥AB₁，
又AB₁?平面AB₁C₁，EF?平面AB₁C₁，
所以EF∥平面AB₁C₁；
又FD∥B₁C₁，所以FD∥平面B₁C₁，
又EF∩FD=F，所以平面DEF∥平面AB₁C₁，
而DE?平面DEF，所以DE∥平面AB₁C₁．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了利用三视图求几何体的体积的应用问题，是综合性题目．