Question

17．已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a），若函数f（x）在区间（0，$\frac{2}{3}$）内是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由f（x）=x³-ax²，知f'（x）=3x²-2ax．由函数f（x）在区间（0，$\frac{2}{3}$）内是减函数，知f'（x）=3x²-2ax≤0在（0，$\frac{2}{3}$）上恒成立．由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x²（x-a）=x³-ax²，
∴f'（x）=3x²-2ax．
∵函数f（x）在（0，$\frac{2}{3}$）内是减函数，
∴f'（x）=3x²-2ax≤0在0，$\frac{2}{3}$）上恒成立． 
 即a≥$\frac{3x}{2}$在0，$\frac{2}{3}$）上恒成立
∵$\frac{3x}{2}$＜$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$=1，
∴a≥1．
故实数a的取值范围为[1，+∞）．

点评 本题考查利用导数求闭区间上函数单调性的应用，考查运算求解能力，推理论证能力，属于基础题．