Question

【题目】如图，要利用一半径为的圆形纸片制作三棱锥形包装盒.已知该纸片的圆心为，先以为中心作边长为（单位：）的等边三角形，再分别在圆上取三个点，，，使，，分别是以，，为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合于点，即可得到正三棱锥.

（1）若三棱锥是正四面体，求的值；

（2）求三棱锥的体积的最大值，并指出相应的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值为，此时.

【解析】

（1）因为三棱锥是正四面体，所以是正三角形，连结，交于点，连结，算出，由即可得到答案；

（2）易得，设函数，利用导数求得的最大值即可得到体积的最大值.

（1）连结，交于点，连结，

在中，， ，

则.

因为三棱锥是正四面体，

所以是正三角形，

所以，即，解得.

（2）在中，，，

所以高.

由可得，.

所以三棱锥的体积

.

设函数，，

则.

令得，.列表如下：

		0
		极大值

所以在时取最大值，

所以.

所以，所以.

所以三棱锥体积的最大值为，此时.