题目内容
【题目】已知函数
有两个零点．
（1）求实数
的取值范围；
（2）设
， 
（
）是
的两个零点，证明： 
．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】【试题分析】（1）先对函数求导，然后对
分成
两类，结合函数两个零点，研究函数的单调区间，由此求得
的取值范围.（2）将要证明的不等式，利用函数
，等价转化为证明
，构造函数令
，利用导数求得
由此证得不等式成立.
【试题解析】
解：（1）∵
， 
．
（2）当
时， 
在
上恒成立，∴
在
上单调递增，显然不符合题意．
（3）当
时，由
，得
，
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| 递减 | 极小值 | 递增 |
当
→
， 
→
时都有
→
，
当
，即
时
有两个零点．
（2）要证
，即证
，
由已知
， 
，
即证
，
即证
，即证
，即证
，
又∵
，且
在
单调递增，
故只需证
，即证
，
令
且
，
∵
，
∴
在
单调递减，∴
，
∴
在
上恒成立，
∴
，故原命题得证．
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【题目】在
中， 
， 
， 
， 
是
的中点， 
是线段
上一个动点，且
，如图所示，沿
将
翻折至
，使得平面
平面
.
（1）当
时，证明： 
平面
；
（2）是否存在
，使得三棱锥
的体积是
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【题目】某地
户家庭的年收入
（万元）和年饮食支出
（万元）的统计资料如下表：
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（1）求
关于
的线性回归方程；（结果保留到小数点后
为数字）
（2）利用（1）中的回归方程，分析这
户家庭的年饮食支出的变化情况，并预测该地年收入
万元的家庭的年饮食支出.（结果保留到小数点后
位数字）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
， 
