Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N₊，点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函数f（x）=3x+2的图象上．
（1）求a₁，a₂及数列{a_n}的通项公式；
（2）解不等式f（n）≥S_n-22．

Answer 1

分析 （1）由点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函数f（x）=3x+2的图象上，可得${S}_{n}=3{n}^{2}+2n$，分别取n=1，2求得a₁，a₂，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得数列{a_n}的通项公式；
（2）求出f（n），代入f（n）≥S_n-22，求解关于n的一元二次不等式得答案．

解答 解：（1）由（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在函数f（x）=3x+2的图象上，
得$\frac{{S}_{n}}{n}=3n+2$，
∴${S}_{n}=3{n}^{2}+2n$，
则a₁=S₁=5，${a}_{1}+{a}_{2}=3×{2}^{2}+2×2=16$，
∴a₂=11，
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=3{n}^{2}+2n$-[3（n-1）²+2（n-1）]=6n-1；
（2）由f（n）≥S_n-22，
得3n+2≥3n²+2n-22，
即3n²-n-24≤0，
解得：$-\frac{8}{3}≤n≤3$，
∵n∈N₊，
∴n=1，2，3．
则不等式f（n）≥S_n-22的解集为{1，2，3}．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列的通项公式，训练了一元二次不等式的解法，是中档题．