Question

如图，已知双曲线：，曲线：．是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．

（1）在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点；

（3）求证：圆内的点都不是“型点”．

 

Answer 1

解：（1）C₁的左焦点为，过F的直线与C₁交于， 

与C₂交于，故C₁的左焦点为“C₁-C₂型点”，且直线可以为；

（2）直线与C₂有交点，则，若方程组有解，则必须；

直线与C₂有交点，则，若方程组有解，则必须

  故直线至多与曲线C₁和C₂中的一条有交点，即原点不是“C₁-C₂型点”。

（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C₁有交点，则斜率必存在；

根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C₂交于点，则

，直线与圆内部有交点，故

化简得，。。。。。。。。。。。。①

若直线与曲线C₁有交点，则

，化简得，。。。②

由①②得，

  但此时，因为，即①式不成立；当时，①式也不成立

综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C₁和C₂有交点，即圆内的点都不是“C₁-C₂型点” ．