Question

已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1)a＋anan＋1－na＝0，又知数列{bn}:b1＝2n－1＋1

(1)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；

(2)求数列{bn}的前n项和Tn；

(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.

Answer 1

（1）见解析（2）（3）见解析

解析:

（Ⅰ）∵

∴。

∴

∴，∴。                                                           

即。

∴

。

∴，

∴又，∴。                                                                      

∴

        。                                                          

（Ⅱ）∵，

∴

。                                                                                  

（Ⅲ）

当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴。                     

       

猜想：当时，。                                                          

即。亦即。

下面用数学归纳法证明：

当时，前面已验证成立；                                             

假设时，成立，那么当时，

。

∴当时，也成立。               

由以上、可知，当时，有；当时，；

当时，。