Question

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（其中为参数，），在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为．
（1）把曲线和的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求曲线的直角坐标方程．

Answer 1

（1）曲线的直角坐标方程为：；曲线的直角坐标方程为；
（2）曲线的直角坐标方程为.

试题分析：（1）对于曲线，把已知参数方程第一式和第二式移向，使等号右边分别仅含、，平方作和后可得曲线的直角坐标方程；对于曲线，把代入极坐标方程的展开式中即可得到曲线的直角坐标方程.
（2）由于圆的半径为，所以所求曲线与直线平行，且与直线相距时符合题意.利用两平行直线的距离等于，即可求出，进而得到曲线的直角坐标方程.
试题解析：（1）曲线的参数方程为，即，将两式子平方化简得，
曲线的直角坐标方程为：；
曲线的极坐标方程为，即，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）由于圆的半径为，故所求曲线与直线平行，且与直线相距时符合题意.由，解得.故曲线的直角坐标方程为.