Question

11．设F₁、F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，C上的动点M到两点F₁，F₂的距离之和为10，且cos∠F₁MF₂的最小值为$\frac{7}{25}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆C的长轴上的一个动点，过P且斜率为k的直线交椭圆于A，B两点，是否存在常数k，使|PA|²+|PB|²为定值？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的性质可得：当点M为椭圆短轴的端点时，∠F₁MF₂取得最大值，已知cos∠F₁MF₂的最小值为$\frac{7}{25}$，可得$\frac{2{a}^{2}-4{c}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{7}{25}$，又2a=10，b²=a²-c²，联立解得即可得出．
（2）假设存在常数k，使|PA|²+|PB|²为定值．设P（t，0），t∈[-5，5]．设直线AB的方程为：y=k（x-t），化为my=x-t，$（k≠0时，m=\frac{1}{k}）$．与椭圆方程联立化为：（25+16m²）y²+32mty+16t²-400=0，利用根与系数的关系可得：|PA|²+|PB|²=$\frac{512{t}^{2}（512{m}^{4}+512{m}^{2}+400）+20000+12800{m}^{2}}{（25+16{m}^{2}）^{2}}$，由于上述数值与t有关系，因此不存在常数k，使|PA|²+|PB|²为定值．当k=0时，上述结论也成立．

解答 解：（1）由椭圆的性质可得：当点M为椭圆短轴的端点时，∠F₁MF₂取得最大值，
∵cos∠F₁MF₂的最小值为$\frac{7}{25}$，∴$\frac{2{a}^{2}-4{c}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{7}{25}$，
化为5c=3a，
又2a=10，联立解得a=5，c=3，∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=4．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（2）假设存在常数k，使|PA|²+|PB|²为定值．设P（t，0），t∈[-5，5]．
设直线AB的方程为：y=k（x-t），化为my=x-t，$（k≠0时，m=\frac{1}{k}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-t}\\{16{x}^{2}+25{y}^{2}=400}\end{array}\right.$，
化为：（25+16m²）y²+32mty+16t²-400=0，
△=（32mt）²-4（25+16m²）（16t²-400）＞0．
y₁+y₂=$\frac{-32mt}{25+16{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{16{t}^{2}-400}{25+16{m}^{2}}$．
x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2t，
|PA|²+|PB|²=$（{x}_{1}-t）^{2}+{y}_{1}^{2}$+$（{x}_{2}-t）^{2}$+${y}_{2}^{2}$
=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2t（x₁+x₂）+2t²+${y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}$
=$（1+{m}^{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}$+2mt（y₁+y₂）+2t²-2y₁y₂
=$\frac{1024{m}^{2}{t}^{2}（1+{m}^{2}）}{（25+16{m}^{2}）^{2}}$-$\frac{64{m}^{2}{t}^{2}}{25+16{m}^{2}}$-$\frac{2（16{t}^{2}-400）}{25+16{m}^{2}}$+2t²
=$\frac{512{t}^{2}（512{m}^{4}+512{m}^{2}+400）+20000+12800{m}^{2}}{（25+16{m}^{2}）^{2}}$，
由于上述数值与t有关系，因此不存在常数k，使|PA|²+|PB|²为定值．
当k=0时，上述结论也成立．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．