Question

【题目】已知数列的前项和为，且，

(1)证明：是等比数列；

(2)求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。

（）

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) n=15

【解析】

（1）当n=1时，a1=S1=1﹣5a1﹣85，求出a1﹣1=﹣15，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，从而6an=5an﹣1+1，由此能证明{an﹣1}是首项为﹣15，公比为的等比数列；

（2）由an﹣1=﹣15（）n﹣1，得Sn=n+75（）n﹣1﹣90．由此能求出n=15时，Sn取得最小值．

（1）当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，

又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；

(2) 由(1)知：，得，

从而；

解不等式Sn<Sn+1，得，，当n≥15时，数列{Sn}单调递增；

同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n=15时，Sn取得最小值.