Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB= ，求cosC的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵b+c=2acosB，

∴sinB+sinC=2sinAcosB，

∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），

∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．

∴A=2B．

（2）

解：cosB= ，∴sinB= = ．

cosA=cos2B=2cos2B﹣1= ，sinA= = ．

∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB= = ．

【解析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），可得0＜A﹣B＜π，即可证明．（2）cosB= ，可得sinB= ．cosA=cos2B=2cos2B﹣1，sinA= ．利用cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出．本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【考点精析】掌握正弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:．