Question

【题目】如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.

(1)求证:M是CD的中点;

(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）0

【解析】

(1) 设=m=n,再根据向量的线性运算化简=,再求出=(1-n)+n,解方程组所以=m,即M是CD的中点.（2）先利用向量的数量积和向量的线性运算求得==-,再利用二次函数求出函数的最小值.

(1)设=m=n,

由题意知)

=+m)=,

又+n+n()

=(1-n)+n,

∴

∴=m,即M是CD的中点.

(2)∵AB=2,BC=1,M是CD的中点,

∴MB=,∠ABM=45°,

∴=()·=-()·=--||2

=-||||cos(180°-∠ABH)-||2

=||||cos 45°-||2

=|-||2=-,

又0<||≤,∴当||=,即H与M重合时,取得最小值,且最小值为0.