Question

15．已知函数f（x）=（log₄x）²-log₄x+5，x∈[1，16]，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 令t=log₄x，运用对数函数的单调性，可得t∈[0，2]，即有函数g（t）=t²-t+5=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{19}{4}$，由二次函数的最值的求法即可得到所求值．

解答 解：令t=log₄x，由x∈[1，16]，可得t∈[0，2]，
即有函数g（t）=t²-t+5=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{19}{4}$，
对称轴为t=$\frac{1}{2}$∈[0，2]，
可得函数的最小值为$\frac{19}{4}$，此时x=2；
t=2，即x=16时，取得最大值，且为7．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和对数函数的单调性，讨论对称轴和区间的关系，属于中档题．