题目内容

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A、ω是常数，A＞0，ω＞0，φ是锐角）的部分图象如图所示，其中 $数学公式$ ．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）的图象先向右平移 $数学公式$ 个单位，再将图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的ω倍，得到函数g（x）的图象，试写出函数g（x）的解析式；
（3）若存在 $数学公式$ ，使得 $数学公式$ 成立，求实数a的取值范围．

解：（1）由图可知，A= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴T=π，故ω=2；
又f（ $\text{[math]}$ ）=0，由图可知，2× $\text{[math]}$ +φ=π，
∴φ= $\text{[math]}$ ，
∴f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）；
（2）将函数f（x）的图象先向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数y= $\text{[math]}$ sin[2（x+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）]= $\text{[math]}$ sin2x；
再将图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数g（x）= $\text{[math]}$ sinx；
（3）若存在x₀∈（0， $\text{[math]}$ ），使得 $\text{[math]}$ sinx₀+acosx₀=2 $\text{[math]}$ 成立．
a= $\text{[math]}$ =h（x₀），x₀∈（0， $\text{[math]}$ ），
可以求导h′（x₀）= $\text{[math]}$ ，得：
h（x₀）在（0， $\text{[math]}$ ）递减，[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）递增；
h（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，h（0）=2 $\text{[math]}$ ，h（ $\text{[math]}$ ）=4- $\text{[math]}$ ．
所求实数a的取值范围是[6，2 $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）依题意可求得A，ω，φ；
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得g（x）的解析式；
（3）若存在x₀∈（0， $\text{[math]}$ ），使得 $\text{[math]}$ sinx₀+acosx₀=2 $\text{[math]}$ 成立，可求得a= $\text{[math]}$ =h（x₀），可以求导h′（x₀）求得a的最大值与最小值，从而得到答案．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象与性质，考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于难题．