Question

点P在平面ABC外,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△PAB是正三角形,PA⊥BC.

(1)求证:平面PAB⊥平面ABC;

(2)求二面角P-AC-B的大小.

Answer 1

(1)证明:∵BC⊥BA,BC⊥PA,∴BC⊥平面PAB.又BC平面ABC,

∴平面PAB⊥平面ABC.

(2)解析:取D为AB的中点,∵△PAB为正三角形,∴PD⊥AB.作DE⊥AC于E,连结PE.由(1)知平面PAB⊥平面ABC,

又PD⊥AB,∴PD⊥平面ABC.

∵DE⊥AC于E,∴AC⊥PE.

∴∠PED为二面角P-AC-B的平面角.

设AB=a,则PD=a,AD=.

在Rt△ADE中,∠DAE=45°,

∴DE=a.

在Rt△PDE中,tan∠PED=,∴∠PED=arctan,

即二面角P-AC-B的大小为arctan.

小结:(1)证平面PAB⊥平面ABC,主要是证BC⊥平面PAB.(2)求二面角PACB的大小是先证PD⊥平面ABC,然后利用平面ABC的垂线作出了二面角的平面角∠PED.