Question

点P在平面ABC外，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，△PAB是正三角形，PA⊥BC.

(1)求证：平面PAB⊥平面ABC；

(2)求二面角P-AC-B的大小.

Answer 1

思路解析:本题用面面垂直的判定定理及二面角定义求解.

(1)证明：∵BC⊥BA，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB.又BC平面ABC，

∴平面PAB⊥平面ABC.

(2)解：取D为AB的中点，∵△PAB为正三角形，

∴PD⊥AB.作DE⊥AC于E，连结PE.

由(1)知平面PAB⊥平面ABC，又PD⊥AB，∴PD⊥平面ABC.

∵DE⊥AC于E，∴AC⊥PE.

∴∠PED为二面角P-AC-B的平面角.

设AB=a，则PD=a，AD=.

在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∴DE=a.

在Rt△PDE中，tan∠PED=

∴∠PED=arctan6，

即二面角P-AC-B的大小为arctan6.