Question

已知a_i＞0(i=1,2,…,n),考查①a₁·≥1;②(a₁+a₂)(+ )≥4;③(a₁+a₂+a₃)(++)≥9后归纳出对a₁,a₂,…,a_n也成立的类似不等式,并用数学归纳法加以证明.

Answer 1

解：猜想(a₁+a₂+…+a_n)(++…+)≥n².

下面用数学归纳法证明.

(1)由已知,n=1,2,3时,不等式成立.

(2)假设n=k时,不等式成立,

即有则

当n=k+1时,

≥k²+=k²+2k+1=(k+1)².

∴n=k+1时,不等式也成立.

由(1)(2),知对任意正整数都有猜想不等式成立.

绿色通道:

用经验归纳法猜想到的是一个不等式,在用数学归纳法证明不等式时,n=k+1时的目标必须清楚明确,证明不等式时,可用综合法、分析法、放缩法等方法.本例用了基本不等式缩小得到目标的方法.