Question

已知a_i＞0（i=1，2，…，n），考查
①a1•

1

a1

≥1；
②(a1+a2)(

1

a1

+

1

a2

)≥4；
③(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9．
归纳出对a₁，a₂，…，a_n都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析：依题意可归纳出：（a₁+a₂+…+a_n）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）≥n²；下面用数学归纳法证明：①当n=1时易证；②假设当n=k时，不等式成立，去证明当n=k+1时，不等式也成立即可，需注意归纳假设的利用与基本不等式的应用．

解答：结论：（a₁+a₂+…+a_n）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）≥n²…（3分）
证明：①当n=1时，显然成立；…（5分）
②假设当n=k时，不等式成立，
即：（a₁+a₂+…+a_k）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

）≥k²…（7分）
那么，当n=k+1时，
（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

+

1

ak+1

）
=（a₁+a₂+…+a_k）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

）+a_k+1（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

）+

1

ak+1

（a₁+a₂+…+a_k）+1
≥k²+（

ak+1

a1

+

a1

ak+1

）+（

ak+1

a2

+

a2

ak+1

）+…+（

ak+1

ak

+

ak

ak+1

）+1
≥k²+2k+1
=（k+1）²
即n=k+1时，不等式也成立．…（14分）
由①②知，不等式对任意正整数n成立．…（15分）

点评：本题考查归纳推理与数学归纳法，着重考查归纳假设的利用与基本不等式的应用，考查推理证明的能力，属于难题．