Question

已知函数f（x）=ax²+（2a-1）x-3在区间上的最大值为1，求实数a的值．

Answer 1

【答案】分析：因为当a等于0时，函数在区间上的最大值不为1，所以得到a不等于0，即可得到函数为二次函数，找出f（x）的对称轴方程，分三种情况考虑：当f（-）等于1时，代入函数解析式即可求出a的值，然后求出对称轴方程，经过判断发现a要小于0时，顶点取得最大值，与f（-）等于1矛盾，不合题意；当f（2）等于1时，代入函数解析式即可求出a的值，同理求出函数的对称轴方程，判断f（2）为最大值符合题意；当顶点为最高点时，得到f（x）=1，代入解析式即可求出a的值，经过验证得到满足题意的a的值，综上，得到满足题意的所有a的值．
解答：解：a=0时，f（x）=-x-3，f（x）在上不能取得1，
故a≠0，则f（x）=ax²+（2a-1）x-3（a≠0）的对称轴方程为x=，
①令，解得a=-，
此时x=-，
∵a＜0，∴f（x）最大，所以不合适；
②令f（2）=1，解得a=，
此时x=-
因为a=且距右端2较远，所以f（2）最大合适；
③令f（x）=1，得a=，经验证a=
综上，a=或a=．
点评：此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．解题的关键是找出对称轴与区间的关系．