题目内容
【题目】如图，三棱柱
中， 
平面
， 
，点
是
中点.
（1）求证： 
；
（2）若
， 
， 
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析. （2）
.
【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形易得
，由线面垂直可得
，由线面垂直判定定理可得
平面
，故而可得结论；（2）以
， 
为
轴建立如图所示空间直角坐标系，分别求出面
的一个法向量
，面
的一个法向量
，求出向量夹角即可得结论.
试题解析：（1）证明：∵
， 
是
中点，∴
，
∵
平面
，平面
平面
，∴
平面
，
又
平面
，∴
，
∵
， 
， 
平面
，
∴
平面
，
∵
平面
，∴
.
（2）解：取
中点
，连
，
以
， 
为
轴建立如图所示空间直角坐标系，
由
， 
， 
，知
， 
，
∴
， 
，
又
，∴
， 
， 
， 
，
， 
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
得
，
同理，得平面
的一个法向量
，
∴
，
∴二面角
的余弦值为
.
【题目】某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.
某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向,随机选取30名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
性别 | 选考方案确定情况 | 物理 | 化学 | 生物 | 历史 | 地理 | 政治 |
男生 | 选考方案确定的有6人 | 6 | 6 | 3 | 1 | 2 | 0 |
选考方案待确定的有8人 | 5 | 4 | 0 | 1 | 2 | 1 | |
女生 | 选考方案确定的有10人 | 8 | 9 | 6 | 3 | 3 | 1 |
选考方案待确定的有6人 | 5 | 4 | 0 | 0 | 1 | 1 |
（Ⅰ）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？
（Ⅱ）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.（直接写出结果）
（Ⅲ）从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.
