Question

【题目】如图，在直三棱柱中，底面是边长为的等边三角形， 为的中点，侧棱，点在上，点在上，且， .

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）根据平几知识得，由线面垂直得，最后根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系确定二面角的余弦值.

试题解析：（1）∵是等边三角形， 为的中点，

∴，∴平面，得.①

在侧面中，

， ，

∴，

∴，∴.②

结合①②，又∵，∴平面，

又∵平面，∴平面平面

（2）解法一：如图建立空间直角坐标系.

则， ， .

得， ，

设平面的法向量，则

即得取.

同理可得，平面的法向量

∴

则二面角的余弦值为.

解法二：由（1）知平面，∴， .

∴即二面角的平面角

在平面中，易知，∴，

设，∵

∴，解得.

即，∴

则二面角的余弦值为.