Question

【题目】已知：函数．

（）求函数的极值．

（）证明：当时，．

（）当时，方程无解，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：

（1）根据导函数判断函数的单调性，然后可得极值．（2）构造函数，利用导数证明是上的增函数，故可得当时，，从而证得不等式成立．（3）由当时，方程无解，可得当时，恒成立．然后根据分类讨论或分离参数可得实数的取值范围为．

试题解析：

（）∵，

∴，

令，得，

当时，,单调递减，

当时，,单调递增．

∴当时，函数有极小值，且极小值为，无极大值．

（）证明：设函数，则，

由（）知在取得极小值，也为最小值，

∴，

∴是上的增函数，

∴当时，，

∴．

（）当时，方程无解，

即时，无解，

即时，恒成立．

令，

则，

①时，，在递增，故，满足题意；

②时，由（）得时符合题意．

综上所述，．

∴实数的取值范围为.