Question

规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，取得最小值？
（3）组合数的两个性质；①；②．是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得 ，运算求得结果．
（2）根据 ，再利用基本不等式求得狮子的最小值．
（3）性质①不能推广，通过举反例可知．性质②能推广，它的推广形式是，x∈R，m是正整数．
根据题中的规定化简运算可以证得．
解答：解：（1）由题意可得 ．（4分）
（2）．（6分）
∵x＞0，故有 ．
当且仅当时，等号成立．∴当时，取得最小值．（8分）
（3）性质①不能推广，例如当时，有定义，但无意义； （10分）
性质②能推广，它的推广形式是，x∈R，m是正整数．（12分）
事实上，当m=1时，有．
当m≥2时.
===．（14分）
点评：本题主要考查组合数的性质、二项式系数的性质，这是一道综合性较强的题目，对学生的逻辑思维能力、推理论证
能力以及计算能力，均有较好的考查．在课本基本题型（组合数的性质）的基础上有拓广创新，属于中档题．