Question

规定，其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广，
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)组合数的两个性质：①；②，
是否都能推广到(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出明；若不能，则说明理由；
(Ⅲ)已知组合数是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，∈Z。

Answer 1

解：(Ⅰ)；
(Ⅱ)性质①不能推广．例如当时，有定义，但无意义；
性质②能推广，它的推广形式是，x∈R，m是正整数，
事实上当m=1时，有，
当m≥2时，


；
(Ⅲ)当x≥m时，组合数；
当0≤x＜m时，=0∈Z；
当x＜0时，∵-x+m-1＞0，
∴

。