Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，AA₁的中点．求证：
（1）E，C，D₁，F四点共面；
（2）CE，D₁F，DA三线共点．

Answer 1

分析：（1）由三角形中位线定理和平行公式，得到EF∥D₁C，再由两条平行线确定一个平面，得到E，C，D₁，F四点共面．
（2）分别延长D₁F，DA，交于点P，由P∈DA，DA?面ABCD，知P∈面ABCD．再由三角形中位线定理证明CE，D₁F，DA三线共点于P．

解答：证明：（1）连接EF，A₁B，D₁C，
∵E，F分别是AB，AA₁的中点，
∴EF∥A₁B，A₁B∥D₁C，
∴EF∥D₁C，
∴由两条平行线确定一个平面，得到E，C，D₁，F四点共面．
（2）分别延长D₁F，DA，交于点P，
∵P∈DA，DA?面ABCD，
∴P∈面ABCD．
∵F是AA₁的中点，FA∥D₁D，
∴A是DP的中点，
连接CP，∵AB∥DC，
∴CP∩AB=E，
∴CE，D₁F，DA三线共点于P．

点评：本题考查四点共面和三点共线的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意平行公理和三角形中位线定理的合理运用．