Question

6．过椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，则弦AB的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由于直线l过右焦点，则当l的斜率不存在时，AB即为通径长，当斜率存在时，设直线l：y=k（x-1），联立椭圆方程，求出交点，运用两点距离，再化简整理，求出AB的范围，即可得到最小值．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，则a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
由于直线l过右焦点（1，0），则当l的斜率不存在时，
令x=1，则y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得|AB|=$\sqrt{2}$；
当斜率存在时，设直线l：y=k（x-1），
代入椭圆方程得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
即有x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
即有|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{8（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}}$
=$\sqrt{2}$•（1+$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$）＞$\sqrt{2}$．
则最小值为$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．