Question

16．过双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆O：x²+y²=a²的两条切线，记切点分别为A，B，双曲线的一条渐近线与圆O在第一象限的交点为C，若∠ACB=60°，则双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 根据题意∠AC′B=60°，OA=OC′，可以得到∠AFO=30°，从而得到a与c的关系式，再由a，b，c的关系，进而可求双曲线的渐近线方程．

解答 解：由题意，∠AC′B=60°，OA=OC′，
则∠AOC′=60°，
∵FA是圆的切线，∴∠AFO=30°，
∴OF=2OC′，∴c=2a，b=$\sqrt{3}$a，
即有双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，
故答案为：y=±$\sqrt{3}$x．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程，解题的关键是熟练掌握双曲线与圆的位置关系，结合有关条件确定a、b与c的关系．