Question

11．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=1，AB=$\sqrt{2}$，点E，F分别为AB、PC中点．
（1）求证：EF⊥PD；
（2）求点E到平面PDC的距离．

Answer 1

分析 （1）取PD的中点M，可得AEFM为平行四边形，AM∥EF，根据AM⊥PD，证得EF⊥PD．
（2）设点E到平面PDC的距离为h，由于AE平行于平面PCD，故点E到平面PDC的距离等于点A到平面PDC的距离，再根据由V_P-ACD=V_E-PCD，求得h的值．

解答 解：（1）如图所示：已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，取PD的中点M，
∵E为AB的中点，
故AE∥MF，AE=MF，∴AEFM为平行四边形，∴AM∥EF．
由PA=AD=1，AB=$\sqrt{2}$，可得PAD为等腰直角三角形，AM⊥PD，故EF⊥PD．
（2）由于PCD PCE都是直角三角形，利用勾股定理求得PC=2，PD=$\sqrt{2}$，
设点E到平面PDC的距离为h．
由于AE平行于平面PCD，故点E到平面PDC的距离等于点A到平面PDC的距离．
由V_P-ACD=V_E-PCD 可得 $\frac{1}{3}$•S_△ACD•PA=$\frac{1}{3}$•S_△PCD•h，
可得•S_△ACD•PA=S_△PCD•h，即$\frac{1}{2}$•AD•CD•PA=$\frac{1}{2}$•PD•CD•h，即AD•PA=PD•h，
即1×1=$\sqrt{2}$•h，求得 h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 点E到平面PDC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查证明直线和直线垂直的方法，用等体积法求点到平面的距离，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．