Question

如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点．若PA=10，PB=5，∠BAC的平分线AE与BC和⊙O分别交于点D、E，求AD•AE的值．

Answer 1

解：连接CE，∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴．…（3分）
∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
由（ I）知，=，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°．
∴AC²+AB²=BC²=225，
∴AC=6 ，AB=3 …（7分）
连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴=…（9分）
∴AD•AE=AB•AC=3 ×6 =90．…（10分）
分析：先根据∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，进而求出，再根据切割线定理得到PA²=PB•PC；结合前面求出的结论以及勾股定理求出AC=6 ，AB=3 ；再结合条件得到△ACE∽△ADB，进而求出结果．
点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．属于基础题．