题目内容
如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点．若PA=10，PB=5，∠BAC的平分线AE与BC和⊙O分别交于点D、E，求AD•AE的值．分析：先根据∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，进而求出
=
，再根据切割线定理得到PA2=PB•PC；结合前面求出的结论以及勾股定理求出AC=6
，AB=3
；再结合条件得到△ACE∽△ADB，进而求出结果．
| AB |
| AC |
| PA |
| PC |
| 5 |
| 5 |
解答：
解：连接CE，∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴
=
．…（3分）
∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
由（ I）知，
=
=
，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°．
∴AC2+AB2=BC2=225，
∴AC=6
，AB=3
…（7分）
连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴
=
=…（9分）
∴AD•AE=AB•AC=3
×6
=90．…（10分）
解：连接CE，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴
| AB |
| AC |
| PA |
| PC |
∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
由（ I）知，
| AB |
| AC |
| PA |
| PC |
| 1 |
| 2 |
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°．
∴AC2+AB2=BC2=225，
∴AC=6
| 5 |
| 5 |
连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴
| AB |
| AE |
| AD |
| AC |
∴AD•AE=AB•AC=3
| 5 |
| 5 |
点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．属于基础题．
练习册系列答案
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如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点，若PA=10，PB=5，∠BAC的平分线AE与BC和⊙O分别交于点D、E，则AD•AE的值为
如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点．若PA=10，PB=5，∠BAC的平分线AE与BC和⊙O分别交于点D、E，则AD•DE的值为（ ）
（1）几何证明选讲：如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A为切点，AP与CB的延长线交于点P，若PA=8，PB=4，求AC的长度．
