Question

已知函数f（x）=（2x+a）•e^x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的极小值；
（2）对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e²成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，即可求出函数f（x）的极小值；
（2）分类讨论，求出函数在区间[-1，1]内的最大值与最小值，根据-2≤f（x）≤e²成立，即可求实数a的取值范围．
解答：解：（1）f′（x）=（2x+a+2）•e^x，
当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，
∴函数在上为减函数，在上为增函数，
∴时，函数取得极小值，极小值为；
（2）由（1）知，即a≥0时，f（x）在[-1，1]上为增函数
∴f（x）_max=f（1），f（x）_min=f（-1）
∵对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e²成立，
∴
∴
∴0≤a≤e-2
，即a≤-4时，f（x）在[-1，1]上为减函数
∴f（x）_max=f（-1），f（x）_min=f（1）
∵对区间[-1，1]内的一切实数x，都有-2≤f（x）≤e²成立，
∴
∴，无解；
，即-4＜a＜0时，f（x）在[-1，）上为减函数，在[，1）上为增函数
∴f（x）_max={f（-1），f（1）}，f（x）_min=
∴
∴-2≤a＜0
综上，a的取值范围为-2≤a≤e-2．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．