题目内容

要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米²），其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h= $数学公式$ AB，tan∠FED= $数学公式$ ，设AB=x米，BC=y米．
（Ⅰ）求y关于x的表达式；
（Ⅱ）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？

解：（1）如图，等腰梯形EFCD中，DH是高，

依题意：DH= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ x，EH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =xy+ $\text{[math]}$ （x+x+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ =xy+ $\text{[math]}$ ，∴y= $\text{[math]}$ ，
∵x＞0，y＞0，∴ $\text{[math]}$ ，解得0＜x＜ $\text{[math]}$ ，
∴所求的表达式为：y= $\text{[math]}$ ，（0＜x＜ $\text{[math]}$ ）
（2）在RT△DEH中，∵tan∠FED= $\text{[math]}$ ，∴sin∠FED= $\text{[math]}$ ，
∴DE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴l=（2x+2y）+2× $\text{[math]}$ +（2× $\text{[math]}$ ）=2y+6x
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ =26，
当且仅当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即x=3时取等号，此时y= $\text{[math]}$ =4，
∴AB=3米，BC=4米时，用材料最少
分析：（1）依题意可表示出梯形的高，和底边长，进而可得表示面积，可建立x，y的关系式，化为函数式即可；（2）RT△DEH中，可表示出DE，进而可得l=2y+6x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由基本不等式可得答案．
点评：本题考查求函数解析的方法，涉及基本不等式的应用，属中档题．