Question

要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米²），其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h=

1

2

AB，tan∠FED=

3

4

，设AB=x米，BC=y米．
（Ⅰ）求y关于x的表达式；
（Ⅱ）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？

Answer 1

分析：（1）依题意可表示出梯形的高，和底边长，进而可得表示面积，可建立x，y的关系式，化为函数式即可；（2）RT△DEH中，可表示出DE，进而可得l=2y+6x=

39

x

+

13

3

x，由基本不等式可得答案．

解答：解：（1）如图，等腰梯形EFCD中，DH是高，

依题意：DH=

1

2

AB=

1

2

x，EH=

DH

tan∠FED

=

4

3

×

1

2

x=

2

3

x，
∴

39

2

=xy+

1

2

（x+x+

4

3

x）

1

2

x=xy+

5

6

x2，∴y=

39

2x

-

5

6

x，
∵x＞0，y＞0，∴

39

2x

-

5

6

x＞0，解得0＜x＜

3 65

5

，
∴所求的表达式为：y=

39

2x

-

5

6

x，（0＜x＜

3 65

5

）
（2）在RT△DEH中，∵tan∠FED=

3

4

，∴sin∠FED=

3

5

，
∴DE=

DH

sin∠FED

=

1

2

x×

3

5

=

5

6

x，
∴l=（2x+2y）+2×

5

6

x+（2×

2

3

x+x）=2y+6x
=

39

x

-

5

3

x+6x=

39

x

+

13

3

x≥2

39 x × 13 3 x

=26，
当且仅当

39

x

=

13

3

x，即x=3时取等号，此时y=

39

2x

-

5

6

x=4，
∴AB=3米，BC=4米时，用材料最少

点评：本题考查求函数解析的方法，涉及基本不等式的应用，属中档题．