Question

（2012•湛江二模）要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的面积为6米²，其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，EF=3CD，tan∠FED=

3

4

，设AB=x米，BC=y米．
（1）求y关于x的表达式；
（2）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？

Answer 1

分析：（1）求出梯形的面积，利用所围成的面积为6米²，即可求出y关于x的表达式；
（2）设整个框架用料为l米，则l=（2x+y）+3x+2•

5

4

x，利用基本不等式，即可求得所用材料最少．

解答：解：（1）如图，等腰梯形CDEF中，DH是高，则EH=AB=x，DH=EH•tan∠FED=

3

4

x
∴S=xy+

1

2

(x+3x)×

3

4

x=xy+

3

2

x2=6，
∴y=

6

x

-

3

2

x
∵x＞0，y＞0
∴

6

x

-

3

2

x＞0，∴0＜x＜2
∴y关于x的表达式为y=

6

x

-

3

2

x（0＜x＜2）
（2）设整个框架用料为l米
Rt△DEH中，∵tan∠FED=

3

4

，∴cos∠FED=

4

5

，
∴DE=

5

4

x
∴l=（2x+2y）+3x+2•

5

4

x=

9

2

x+

12

x

≥2

9 2 x× 12 x

=6

6

当且仅当

9

2

x=

12

x

，即x=

2 6

3

时取等号
此时y=

6

x

-

3

2

x=

6

2

∴AB=

2 6

3

米，BC=

6

2

米时，所用材料最少．

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，解题的关键是构建函数解析式．