Question

（1）已知cos2α=-

47

49

，cos（α-β）=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

，求β；
（2）已知sin（2α-β）=

3

5

，sinβ=-

12

13

，且α∈（

π

2

，π），β∈（-

π

2

，0），求sinα的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦

专题：三角函数的求值

分析：（1）由角的范围和二倍角的余弦公式可得cosα和sinα，再由同角三角函数的基本关系可得sin（α-β）的值，进而可得cosβ，可得β的值；
（2）由角的范围和同角三角函数的基本关系可得cos（2α-β）和cosβ，进而可得cos2α的值，由1-2sin²α=cos2α结合α的范围，解关于sinα的方程可得．

解答： 解：（1）∵0＜β＜α＜

π

2

，∴0＜α-β＜

π

2

，
∵cos2α=2cos²α-1=1-2sin²α=-

47

49

，
∴cosα=

1

7

，sinα=

4 3

7

，
又∵cos（α-β）=

13

14

，
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

3 3

14

，
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=

1

7

×

13

14

+

4 3

7

×

3 3

14

=

1

2

，又0＜β＜

π

2

可得β=

π

3

；
（2）∵α∈（

π

2

，π），β∈（-

π

2

，0），∴2α-β∈（π，

5π

2

），
又∵sin（2α-β）=

3

5

，∴2α-β∈（2π，

5π

2

），
∴cos（2α-β）=

1-sin2(2α-β)

=

4

5

，
∵sinβ=-

12

13

，β∈（-

π

2

，0），∴cosβ=

1-sin2β

=

5

13

，
∴cos2α=cos[（2α-β）+β]
=cos（2α-β）cosβ-sin（2α-β）sinβ
=

4

5

×

5

13

-

3

5

×(-

12

13

)=

56

65

，
又cos2α=1-2sin²α，∴1-2sin²α=

56

65

，
又α∈（

π

2

，π），∴sinα＞0，∴sinα=

3 130

130

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式，属中档题．